Erweitern und Kürzen
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Merke
Sowohl beim Erweitern als auch beim Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht. Man ändert lediglich die Form.
Erweitern
Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (außer 0) multipliziert. Allgemein gilt:
$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\quad$ ($c\neq 0$)
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Beachte
Bei Summen im Zähler oder Nenner müssen alle Summanden mit dem gleichen Erweiterungsfaktor $c$ multipliziert werden.
Beispiel: $\frac{2+3}{8}=\frac{(2+3)\cdot\color{red}{5}}{8\cdot\color{red}{5}}=\frac{10+15}{40}=\frac{25}{40}$
Beispiele
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Erweitere den Bruch mit $4$
$\frac12=\frac{1\cdot4}{2\cdot4}=\frac48$
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Erweitere den Bruch mit $3$
$\frac{12-4}{3+1}=\frac{(12-4)\cdot3}{(3+1)\cdot3}=\frac{36-12}{9+3}=\frac{24}{12}$
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Erweitere den Bruchterm mit $2x$
$\frac{2y}{4x}=\frac{2y\cdot2x}{4x\cdot2x}=\frac{4xy}{8x^2}$
Kürzen
Ein Bruch wird gekürzt, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (außer 0) dividert. Allgemein gilt:
$\frac{a\cdot \rlap{\backslash}c}{b\cdot \rlap{\backslash}c}=\frac{a}{b}$
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Beachte
Das Kürzen von Summen ist nicht erlaubt.
Beispiel: $\frac{2+3}{8+3}$ Kürzen wäre hier falsch!
In der Mathematik ist es üblich, Brüche so weit wie möglich zu kürzen. Man sagt die Brüche werden vollständig gekürzt.
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Vorgehensweise
- Zähler und Nenner in PrimfaktorenFaktoren zerlegen
- Faktoren, die im Zähler und Nenner sind, streichen
Beispiele
Kürze den Bruch/Bruchterm soweit wie möglich
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$\frac{16}{40}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2}{5\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}2}=\frac25$
Wer jedoch sofort sieht, dass Zähler und Nenner durch 8 teilbar sind kann zum Beispiel auch folgende Variante benutzen:
$\frac{16}{40}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}8}{5\cdot\rlap{\backslash}8}=\frac25$
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$\frac{4+3}{1+3}=\frac{7}{4}=\text{Kürzen nicht möglich!}$
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$\frac{4x}{6x}=\frac{2\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}x}{3\cdot\rlap{\backslash}2\cdot\rlap{\backslash}x}=\frac23$