Es lässt sich auch überprüfen, ob sich ein Punkt im Dreieck oder im Parallelogramm befindet. Dies geht jedoch nur mit der Parameterform.
Die Parametergleichung wird mithilfe der beiden Vektoren, die das Dreieck bzw. Parallelogramm aufspannen, aufgestellt.
Beim Dreieck ABC:
Und beim Parallelogramm ABCD:
Liegt der Punkt $P(-0,5|1|1)$ im Dreieck ABC mit $A(0|1|0)$, $B(0|0|2)$ und $C(-2|2|2)$?
$\text{E: } \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB}$ $+ s \cdot \vec{AC}$
$\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -0,5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Nun stellen wir ein Gleichungsystem auf und lösen es. Jede Zeile ist eine Gleichung.Aus I. erhält man $s=\frac14$, was in II. eingesetzt wird.
$1=1-r+\frac14\quad|-1$
$0=-r+\frac14\quad|+r$
$r=\frac14$
$1=2\cdot\frac14+2\cdot\frac14$
$1=1$
=> Punkt liegt in der Ebene
Alle Bedinungen gelten.
=> P liegt im Dreieck ABC.