Exponentialfunktion werden verwendet, um exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse zu beschreiben.
Exponentielles Wachstum besitzt folgende Funktionsgleichung:
$t...$ Zeit
$a ...$ Anfangsbestand
$b ...$ Wachstumsfaktor
$N(t) ...$ Wert in der Abhängigkeit von $t$
Eine Person nimmt 6mg eines Medikaments ein. Dieses wird jedem Tag um $\frac13$ abgebaut. Wie viel mg sind nach 7 Tagen noch im Körper?
Wenn eine Zunahme oder Abnahme mit einem konstantem prozentualen Wachstumsfaktor gegeben ist, handelt es sich um prozentuales Wachstum. Dies ist auch ein exponentieller Wachstumsprozess und kann deshalb mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden.
Bei Zunahme mit einer prozentualen Wachstumsrate $p$ % gilt der Wachstumsfaktor $(1+\frac{p}{100})$ und bei Abnahme mit einer prozentualen Abnahmerate $p$ % gilt der Abnahmefaktor $(1-\frac{p}{100})$.
Setzt man den Wachstums- bzw. Abnahmefaktor in die obige Formel für $b$ ein, erhält man bei prozentualer Zunahme die Gleichung
und bei prozentualer Abnahme die Gleichung
3m² der Wasseroberfläche eines Sees sind mit einer Algensorte bedeckt, die jährlich um 50% wächst. Berechne die bedeckte Fläche der nächsten 5 Jahre an.
Es handelt sich um prozentuale Zunahme, da es einen prozentualen Wachstumsfaktor gibt und die Fläche wächst. Zuerst setzten wir die konstanten Werte $p$ und $a$ in die Formel für prozentuale Zunahme ein.
$N(\color{purple}{t})=\color{red}{a}\cdot (1+\frac{\color{green}{p}}{100})^\color{purple}{t}$Jetzt die Werte 1 bis 5 für $t$ einsetzen und ausrechnen.
$N(\color{purple}{1})=\color{red}{3}\cdot1,5^\color{purple}{1}=4,5$