Parallele Geraden werden unterteilt in echt parallele und identische.
Um zu überprüfen, ob Geraden im Raum echt parallel oder identisch sind, kann das Bearbeitungsschema genutzt werden.
Bei identischen Geraden handelt es sich um ein und dieselbe Gerade nur mit einer anderen Gleichung.
Parallele Geraden, die nicht identisch sind, nennt man echt parallel.
$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\vec{a}=t\cdot\vec{b}$
$\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$
Für jede Zeile wird nun $t$ berechnet
$-3=t\cdot(-3)$
$5=t\cdot5$
$2=t\cdot2$
Wenn sich aus allen Zeilen das gleiche $t$ ergibt (hier: $t=1$), dann sind die Vektoren kollinear.
$\begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$
Nun stellen wir ein Gleichungsystem auf und lösen es. Wenn $r$ in allen Gleichungen gleich ist, dann liegt der Stützpunkt auf beiden Geraden und sie sind identisch.
=> Die Geraden sind identisch.