Zwei Geraden können sich schneiden und besitzen dann einen Schnittpunkt.
Um den Schnittpunkt zu berechnen, folgt man dem obigen Schema. Die Lösung aus Schritt 2 für $r$ oder $s$ setzt man dann in die zugehörige Geradengleichung ein.
$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$
$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\vec{a}=t\cdot\vec{b}$
$\begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Für jede Zeile wird nun $t$ berechnet
$t$ hat nicht überall den gleichen Wert. Die Richtungsvektoren sind also nicht kollinear, weshalb die Geraden windschief sind oder einen Schnittpunkt haben.
$\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Nun stellen wir ein Gleichungsystem auf und lösen es.
Gleichsetzungsverfahren: I. und II. gleichsetzen
$4+s=4+s$
$10+9r=9+8r\quad|-8r$
$10+r=9\quad|-10$
$r=-1$
$s$ mit z. B. I. berechnen (dazu $r=-1$ einsetzen)
$10+9\cdot(-1)=4+s$
$1=4+s\quad|-4$
$s=-3$
Zur Überprüfung $r=-1$ und $s=-3$ in III. einsetzen
$7+7\cdot(-1)=6+2\cdot(-3)$
$0=0$
Aus allen drei Gleichungen folgt $r=-1$ und $s=-3$
=> Die Geraden schneiden sich.
$\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
=> Die Geraden schneiden sich im Punkt $S(1|1|0)$.