Manchmal kennt man die Ableitung bzw. die Änderungsrate, jedoch nicht die Stammfunktion.
Man kann dann $f'$ integrieren und den Funktionswert zum Bestimmen der Integrationskonstanten $C$ nutzen.
Bestimme die Funktionsgleichung von $f$ mit der Änderungsrate $f'(x)=\frac12x$ und dem Wert $f(2)=-1$.
$\int \frac12x\,\mathrm{d}x$ $=\frac14x^2\color{red}{+C}$
$f_C(x)=\frac14x^2\color{red}{+C}$
$f(2)=-1$
Der Funktionswert wird nun eingesetzt und die Gleichung nach C umgestellt.$-1=\frac14\cdot2^2+C$
$-1=1+C\quad|-1$
$C=-2$
$f(x)=\frac14x^2-2$
Es gibt viele mögliche Beispiele und Anwendungen für Rekonstruktionsaufgaben. Hier ist eine Auflistung einiger.
$f=\int f'$ | $f'$ |
---|---|
Bestandsfunktion | Änderungsrate |
Weg $s$ | Geschwindigkeit $v=s'$ |
Arbeit $W$ | Kraft $F=W'$ |
Arbeit $W$ | Leistung $P=W'$ |
Manntage | Arbeiterzahl |