Ober- und Untersumme

Die Integralrechnung wird zur Berechnung der Fläche in einem Intervall zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse genutzt.

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Info

Bereits 260 v. Chr. entwickelte Archimedes die Streifenmethode, welche den Ursprung der Integralrechnung bildet.

Wenn man den Flächeninhalt nun ermitteln will, unterteilt man die Fläche in vertikale Streifen. Dabei ergeben sich zwei Möglichkeiten:

Die erste Einteilung der Fläche wird als Untersumme bezeichnet und ist kleiner als der Flächeninhalt.

Hier handelt es sich um die Obersumme und die ist größer als der tatsächliche Flächeninhalt.

$\text{Untersumme} \le A \le \text{Obersumme}$

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Merke

Je geringer man die Abstände zwischen den Streifen setzt (also je mehr Streifen), desto genauer wird das Ergebnis.

Beispiel

$f(x)=x^2$ im Intervall $[0; 1]$

Man kann nun die Flächeninhalte der Rechtecke (Breite ist $0,25$ und Höhe ist $x^2$) jeweils zusammenrechnen und erhält folgendes:

$U=0,25\cdot (0^2+0,25^2+0,5^2+0,75^2)$ $=\frac{7}{32}$
$O=0,25\cdot (0,25^2+0,5^2+0,75^2+1^2)$ $=\frac{15}{32}$
$\frac{7}{32} \le A \le \frac{15}{32}$

Bei höherer Streifenanzahl, wird das Ergebnis immer genauer. So hat man bei einer Streifenzahl von 256: $0,331\le A\le 0,335$