Gemischt quadratische Gleichungen

Eine gemischt quadratische Gleichung ist eine Gleichung in der Form:

$x^2+px+q=0$

Gemischt quadratische Gleichungen können mithilfe der quadratischen Ergänzung gelöst werden.

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Vorgehensweise


  1. Falls ein Koeffizient vor dem $x^2$ steht, muss dieser vorher ausgeklammert werden, zum Beispiel:
    $2x^2+4x=8$
    $2(x^2+2x)=8$

  2. Quadratische Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung
    $x^2+px\color{red}{+(\frac{p}{2})^2}=-q+\color{red}{(\frac{p}{2})^2}$

  3. Binomische Formel rückwärts anwenden $(x+\color{red}{\frac{p}{2}})^2=-q+\color{red}{(\frac{p}{2})^2}$

  4. Quadratwurzel ziehen und $x$ auf eine Seite bringen

Beispiel

  1. $p$ bestimmen:


    $x^2+20x=-19$
    $p=20$

  2. quadratische Ergänzung $+(\frac{p}{2})^2$:


    $x^2+20x=-19$   $|+\color{red}{10^2}$
    $x^2+20x+\color{red}{10^2}=-19+\color{red}{10^2}$

  3. Binomische Formel rückwärts anwenden und Quadratwurzel ziehen


    $(x+10)^2=81$   $|\sqrt{}$

  4. $x$ alleine auf eine Seite der Gleichung bringen

    Es gibt zwei Lösungen (einmal positive und einmal negative Quadratwurzel)

    $x+10=9$   $|-10$
    und
    $x+10=-9$   $|-10$

  5. $x_1=-1$ und $x_2=-19$