Gemischt quadratische Gleichungen
Eine gemischt quadratische Gleichung ist eine Gleichung in der Form:
$x^2+px+q=0$
Gemischt quadratische Gleichungen können mithilfe der quadratischen Ergänzung gelöst werden.
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Vorgehensweise
- Falls ein Koeffizient vor dem $x^2$ steht, muss dieser vorher ausgeklammert werden, zum Beispiel:
$2x^2+4x=8$
$2(x^2+2x)=8$
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Quadratische Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung
$x^2+px\color{red}{+(\frac{p}{2})^2}=-q+\color{red}{(\frac{p}{2})^2}$
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Binomische Formel rückwärts anwenden
$(x+\color{red}{\frac{p}{2}})^2=-q+\color{red}{(\frac{p}{2})^2}$
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Quadratwurzel ziehen und $x$ auf eine Seite bringen
Beispiel
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$p$ bestimmen:
$x^2+20x=-19$
$p=20$
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quadratische Ergänzung $+(\frac{p}{2})^2$:
$x^2+20x=-19$ $|+\color{red}{10^2}$
$x^2+20x+\color{red}{10^2}=-19+\color{red}{10^2}$
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Binomische Formel rückwärts anwenden und Quadratwurzel ziehen
$(x+10)^2=81$ $|\sqrt{}$
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$x$ alleine auf eine Seite der Gleichung bringen
Es gibt zwei Lösungen (einmal positive und einmal negative Quadratwurzel)
$x+10=9$ $|-10$
und
$x+10=-9$ $|-10$
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$x_1=-1$ und $x_2=-19$