Betrag eines Vektors

Um den Betrag (Länge) $|\vec{v}|$ eines Vektors zu berechnen, nutzt man den Satz des Pythagoras.

Der Betrag von $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ ist:

$|\vec{v}|=\left|\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Im dreidimensionalen Raum:

$|\vec{v}|=\left|\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$

Merke

Der Betrag eines Vektors ist die Länge eines seiner Pfeile und entspricht dem Abstand zwischen seinem Anfangs- und Endpunkt.

Um die Länge des Pfeils (und somit den Betrag des Vektors) zu berechnen, denkt man sich folgendes Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras erhält man die gesuchte Pfeillänge.

Beispiele

Berechne den Betrag des Vektors $\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$

$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

Berechne den Betrag des Vektors $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$

$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}$ $=7$