Tangentengleichung

Auch beim Aufstellen der Tangentengleichung eines Punktes nutzt man die Ableitung.

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Merke

Die Gleichung der Tangenten an der Stelle $x$ ist:
$t(x)=mx+n$
Die Steigung der Tangenten kann man mit der Ableitung an der Stelle $x$ bestimmen:
$m=f'(x)$
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Vorgehensweise

  1. Ableitung bestimmen
  2. Steigung berechnen
  3. Steigung einsetzen
  4. $n$ berechnen und einsetzen

Beispiel

Gib die Tangentengleichung der Funktion $f(x)=-x^2+3$ an der Stelle $x=2$ an.

  1. Ableitung bestimmen

    Stammfunktion: $f(x)=-x^2+3$
    Ableitung: $f'(x)=-2x$

  2. Steigung berechnen

    $f'(2)=-2\cdot2=-4$

  3. Steigung einsetzen

    $t(x)=mx+n$

    $m=f'(2)=-4$
    $t(x)=-4x+n$

  4. $n$ berechnen und einsetzen

    Die Tangente geht durch den Punkt $P(2|f(2))$. Um $n$ zu berechnen, wird der Punkt in die Gleichung eingesetzt
    $f(2)=-2^2+3=-1$
    => $P(\color{blue}{2}|\color{green}{-1})$

    $t(x)=-4x+n$
    $\color{green}{-1}=-4\cdot\color{blue}{2}+n$
    $-1=-8+n\quad|+8$
    $n=7$

    $t(x)=-4x+7$