Ableitung e-Funktionen

!

Merke

Durch Anwenden der Faktorregel auf e-Funktionen lässt sich sagen:

$f(x)=a\cdot e^x$ mit $a\in\mathbb{R}$
$f'(x)=a\cdot e^x$

Es gibt keine andere Funktion, welche diese Eigenschaft besitzt.

Ableitung verketteter e-Funktionen

Zum Ableiten verketteter e-Funktionen muss man die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, beherrschen.

Beispiel

$f(x)=e^{x^2-2x}$

  1. Funktion in Teilfunktionen zerlegen

    $g(x)=e^x$ und $h(x)=\color{red}{x^2-2x}$

  2. Teilfunktionen ableiten

    Anwenden der Ableitungsregeln
    $g'(x)=\color{blue}{e}^x$ und $h'(x)=\color{green}{2x-2}$

  3. Einsetzen

    $f'(x)=\color{blue}{g'}(\color{red}{h(x)})\cdot \color{green}{h'(x)}$

    $f'(x)=\color{blue}{e}^{\color{red}{x^2-2x}}\cdot \color{green}{(2x-2)}$
i

Tipp

Da $e^x$ abgeleitet $e^x$ ist, muss man beim Ableiten verketteter e-Funktionen nur mal die innere Ableitung rechnen (die äußere Funktion bleibt gleich):

$f(x)=e^{g(x)}$

$f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)$