Schnittwinkel von zwei Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen berechnet sich wie der von zwei Geraden (bzw. auch wie Winkel zwischen zwei Vektoren).

Gegeben sind zwei Ebenen (am besten in Normalen- oder Koordinatenform zum Ablesen des Normalenvektors):

$E_1: (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n_1}=0$

$E_2: (\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{n_2}=0$

Zum Berechnen des Winkels nutzt man nun die beiden Normalenvektoren der Ebenen:

$\cos(\gamma) = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$

$\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\right)$
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Vorgehensweise

  1. Normalenvektoren ablesen
  2. Skalarprodukt der Normalenvektoren berechnen
  3. Beträge der Normalenvektoren berechnen
  4. Ergebnisse in die Formel einsetzen

Beispiel

$\text{E: } 9x + 8y + 7z = 0$

$\text{F: } x+y+2z=0$

  1. Normalenvektoren ablesen

    Bei der Koordinatenform lässt sich der Normalenvektor immer durch die Faktoren vor x,y und z ablesen.

    $\vec{n_1}=\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$

    $\vec{n_2}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$
  2. Skalarprodukt berechnen

    $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}$ $=\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ $=9\cdot1+8\cdot1+7\cdot2$ $=31$
  3. Beträge der Normalenvektoren berechnen

    $|\vec{n_1}|=\sqrt{9^2+8^2+7^2}$ $=\sqrt{194}$

    $|\vec{n_2}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{6}$
  4. Ergebnisse in die Formel einsetzen

    $\cos(\gamma) = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$

    $\cos(\gamma) = \frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}$

    $\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}\right)$ $\approx24,68°$