Kurvendiskussion einer Funktionenschar

Auch bei Funktionenscharen lässt sich eine Kurvendiskussion durchführen.

Beispiel

Untersuche $f_a(x)=x^2+ax$ ($a\in\mathbb{R}$) auf folgende Eigenschaften:

• Nullstellen
• Extrempunkte
• Wendepunkte

1. Ableitungen bestimmen

   $f_a(x)=x^2+ax$
   $f_a'(x)=2x+a$
   $f_a''(x)=2$

2. Nullstellen

   Nullstellenberechnung: Funktion gleich Null setzen
   $f_a(x)=0$
   $x^2+ax=0$
   $x(x+a)=0$
   $x_{N_1}=0$ und $x_{N_2}=-a$

3. Extrempunkte

   Extrempunkte berechnen: Erste Ableitung gleich Null setzen
   $f_a'(x)=0$
   $2x+a=0\quad|-a$
   $2x=-a\quad|:2$
   $x_E=-\frac{a}2$
   
   extremwertverdächtige Stelle in die zweite Ableitung einsetzen:
   $f_a''(-\frac{a}2)=2>0$ => Tiefpunkt
   
   y-Koordinate berechnen und Tiefpunkt angeben:
   $f_a(-\frac{a}2)$ $=(-\frac{a}2)^2+a\cdot(-\frac{a}2)$ $=\frac{a^2}4-\frac{a^2}2$ $=\frac{a^2}4-\frac{2a^2}4$ $=-\frac{a^2}4$
   
   $T(-\frac{a}2|-\frac{a^2}4)$

4. Wendepunkte

   Wendepunkte berechnen: Zweite Ableitung gleich Null setzen
   $f_a''(x)=0$
   $2=0$ => Funktion hat keine Wendepunkte.