Symmetrieverhalten
Das Symmetrieverhalten gibt Auskunft darüber, ob der Graph einer Funktion zu einer Achse oder einem Punkt symmetrisch ist.
Achsensymmetrie
!
Merke
Für Achsensymmetrie zur y-Achse muss gelten:
$f(-x)=f(x)$
Beispiel
Überprüfe, ob $f(x)=x^4$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
$f(\color{red}{-x})=(\color{red}{-x})^4=x^4$
$f(x)=x^4$
=> achsensymmetrisch zu y-Achse, da $f(-x)=f(x)$
i
Zusatz
Der Graph einer Funktion kann auch achsensymmetrisch zu einer beliebigen Achse sein, wenn gilt:
$f(c-x)=f(c+x)$
$c$ ist dabei die Gleichung der Achse.
Punktsymmetrie
!
Merke
Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss gelten:
$f(-x)=-f(x)$
Beispiel
Überprüfe, ob $f(x)=x^3$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
$f(\color{red}{-x})=(\color{red}{-x})^3=-x^3$
$-f(x)=-x^3$
=> punktsymmetrisch zum Ursprung, da $f(-x)=-f(x)$
i
Zusatz
Der Graph einer Funktion kann auch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt sein, wenn gilt:
$f(x_0-x)-y_0=$ $-(f(x_0+x)+{y}_0)$
$x_0$ und $y_0$ sind dabei die Koordinaten des Punktes.