Sinus, Kosinus und Tangens
Mit Sinus, Kosinus und Tangens kann man in jedem rechtwinkligen Dreieck die Ankathete/Gegenkathe eines Winkels oder den Winkel selbst berechnen, wenn zwei der drei Größen bekannt sind.
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Merke
- Sinus: $\sin=\frac{\text{Gegenkathe des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
- Kosinus: $\cos=\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
- Tangens: $\tan=\frac{\text{Gegenkathe des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}}$
Wenn man jetzt die Seiten einsetzt, ergibt sich in unserem Dreieck ABC mit $\gamma=90^\circ$:
- $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$ und $\sin(\beta)=\frac{b}{c}$
- $\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$ und $\cos(\beta)=\frac{a}{c}$
- $\tan(\alpha)=\frac{a}{b}$ und $\tan(\beta)=\frac{b}{a}$
Beispiel
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit $\beta=90^\circ$, $\alpha=60^\circ$ und $c=4$. Berechne $b$.
Passende Formel raussuchen
$\cos=\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos(\alpha)=\frac{c}{b}$Formel umstellen
$\cos(\alpha)=\frac{c}{b}\quad|\cdot b$
$\cos(\alpha)\cdot b=c\quad|:\cos(\alpha)$
$b=\frac{c}{\cos(\alpha)}$Einsetzen und ausrechnen
$b=\frac{4}{\cos(60^\circ)}=8$