Sinussatz

Der Sinussatz ist in jedem beliebigen Dreieck anwendbar, wenn entweder

• eine Seite und zwei Winkel
oder
• zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind.

Im zweiten Fall muss der Winkel einer der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegen. Sonst benötigt man den Kosinussatz.

In unserem Dreieck ABC besagt der Sinussatz:

• $\frac{a}{b}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$


• $\frac{b}{c}=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}$


• $\frac{c}{a}=\frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}$


• $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$

Beispiel

Gegeben ist ein Dreieck mit $a=7$, $c=4$ und $\gamma=30^\circ$. Berechne den Winkel $\alpha$.

1. Passende Formel raussuchen

   
   $\frac{a}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}$

2. Formel umstellen

   
   $\frac{a}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\quad|\cdot\sin(\gamma)$
   $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\cdot\sin(\gamma)$

3. Einsetzen und ausrechnen

   
   $\sin(\alpha)=\frac{7}{4}\cdot\sin(30^\circ)$
   $\alpha=\sin^{-1}(\frac{7}{4}\cdot\sin(30^\circ))\approx61^\circ$