Differenzialquotient

Der Differenzialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten:

Geometrisch gedeutet ist der Differenzialquotient die Steigung der Tangenten eines Punktes.
Dazu betrachtet man die Sekante und lässt den Abstand der beiden Punkte unendlich klein werden bis man eine Tangente erhält.

Beispiel

Bestimme die Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0=1$ mit dem Differenzialquotient.

1. Einsetzen

   $\lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}}$
   Für $x_0$ kann $1$ und für $f(x)$ kann $x^2$ eingesetzt werden
   $\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-f(1)}{x - 1}}$ $=\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1^2}{x - 1}}$ $=\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1}{x - 1}}$

2. Bruch auflösen

   Der Bruch muss zuerst aufgelöst werden, denn, wenn man 1 für $x$ einsetzen würde, ergibt der Nenner $0$ (Division durch 0 nicht erlaubt!).
   $\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1}{x - 1}}$
   In diesem Fall ist es am einfachsten den Bruch umzuformen und zu kürzen. Falls dies nicht geht, muss man Polynomdivision anwenden.
   $\lim\limits_{x \to 1}{\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}}=\lim\limits_{x \to 1}{(x+1)}$
   

3. $x_0=1$ für $x$ einsetzen

   Jetzt lässt man $x$ gegen 1 laufen und erhält die Steigung.
   $\lim\limits_{x \to 1}{(\overbrace{x}^{\to 1}+1)}=1+1=2$