Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand windschiefer Geraden kann anders als der Abstand paraller Geraden auf die Hessesche Normalform zurückgeführt werden.

Gegeben sind zwei windschiefe Geraden:

$\text{g: } \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{m_1}$
$\text{h: } \vec{x} = \vec{q} + s \cdot \vec{m_2}$

Aus den beiden Richtungsvektoren berechnen wir einen orthogonalen Normalenvektor.

$\vec{n}=\vec{m_1}\times\vec{m_2}$

Dieser wird normiert (Normaleneinheitsvektor) und zusammen mit den beiden Stützvektoren $\vec{p}$ und $\vec{q}$ in die Hessesche Normalform eingesetzt. Man erhält dann den Abstand $d$.

$d = |(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n_0}|$
i

Vorgehensweise

  1. Normalenvektor berechnen

  2. Normaleneinheitsvektor bilden

  3. Punkte in HNF einsetzen

Beispiel

Gegeben sind die windschiefen Geraden

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  1. Normalenvektor berechnen

    Variante 1

    Da beide Richtungsvektoren senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ stehen, muss das Skalarprodukt jeweils null ergeben.

    1. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = 0$
    2. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}} = 0$

    Das Skalarprodukt kann nun ausgerechnet werden.

    1. $1x+1y=0$
    2. $1x+5y+2z= 0$

    II.-I.

    $4y+2z=0$

    $z$ frei wählen, z. B. $z=4$

    $4y+8=0\quad|-8$
    $4y=-8\quad|:4$
    $y=-2$

    $x$ mit I. berechnen ($y$ einsetzen)

    $x+y=0$
    $x-2=0\quad|+2$
    $x=2$

    $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

    Variante 2

    Bei Variante 2 wird stattdessen nur das Kreuzprodukt der beiden Vektoren gebildet.

    $\vec{n}$ $=\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} \times \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}}$ $=\begin{pmatrix} 1\cdot2 - 0\cdot5 \\ 0\cdot1 - 1\cdot2 \\ 1\cdot5 - 1\cdot1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

  2. Normaleneinheitsvektor

    Der Normalenvektor wird normiert, indem wir durch den Betrag des Vektors dividieren.

    $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

    $|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$

    $\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$

  3. Punkte einsetzen

    $d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $\approx3,67$