Auch bei e-Funktionen lässt sich eine Kurvendiskussion durchführen
Untersuche $f(x)=x\cdot e^x$ auf folgende Eigenschaften:
$f(x)=x\cdot e^x$
$f'(x)=x\cdot e^x+e^x$ $=e^x(x+1)$
$f''(x)=x\cdot e^x+e^x+e^x$ $=e^x(x+2)$
$f'''(x)=x\cdot e^x+e^x+e^x+e^x$ $=e^x(x+3)$
$f(x)=0$
$x\cdot e^x=0$
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird.
$e^x>0$ (kann nie null werden!) und$e^x>0$ (kann nie null werden!) und
$x+1=0\quad|-1$
$x_E=-1$
extremwertverdächtige Stelle in die zweite Ableitung einsetzen:
$f''(-1)=e^{-1}>0$ => Tiefpunkty-Koordinate berechnen und Tiefpunkt angeben:
$f(-1)$ $=-1\cdot e^{-1}$ $=-e^{-1}$ $\approx-0,37$$e^x>0$ (kann nie null werden!) und
$x+2=0\quad|-2$
$x_W=-2$
wendepunktverdächtige Stelle in die dritte Ableitung einsetzen:
$f'''(-2)=e^{-2}\neq0$ => Wendepunkty-Koordinate berechnen und Wendepunkt angeben:
$f(-2)$ $=-2e^{-2}$ $\approx-0,27$