Ableitung von Exponentialfunktionen

Beim Ableiten von allgemeinen Exponentialfunktionen nutzt man den natürlichen Logarithmus.

Beispiel

$f(x)=2^x$
$f'(x)=2^x\cdot\ln(2)$

Herleitung

Hier wird die Herleitung des Merksatzes beschrieben.

Gesucht ist die Ableitung von $f(x)=a^x$

1. Umschreiben als e-Funktion

   Da die ln-Funktion die Umkehrung der e-Funktion ist gilt:

   $x=e^{\ln(x)}$
   $a^x=e^{\ln(a^x)}$

   Nun wird das Logarithmusgesetz für Potenzen angewendet.
   $a^x=e^{x\cdot\ln(a)}$

   $f(x)=a^x=e^{x\cdot\ln(a)}$

2. Ableiten der verketteten e-Funktion

   $f(x)=e^{g(x)}$
   $f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)$
   
   $f(x)=e^{x\cdot\ln(a)}$
   $f'(x)=e^{x\cdot\ln(a)}\cdot(x\cdot\ln(a))'$

   $\ln(a)$ ist ein konstanter Faktor (Faktorregel) und $(x)'=1$

   $f'(x)=e^{x\cdot\ln(a)}\cdot\ln(a)$

3. e-Funktion umschreiben

   Die Methode aus dem ersten Schritt rückwärts anwenden:

   $a^x=e^{x\cdot\ln(a)}$
   
   $f'(x)=e^{x\cdot\ln(a)}\cdot\ln(a)$
   $f'(x)=a^x\cdot\ln(a)$