Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Eine gebrochenrationalen Funktion besitzt eine Nullstelle, wenn das Zählerpolynom den Wert null annimmt und das Nennerpolynom einen Wert ungleich null.

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Merke

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=0$, wenn gilt: $g(x)=0$ und $h(x)\neq0$

Der obere Term muss also gleich null gesetzt werden. Dann schaut man ob das Ergebnis in der Definitionsmenge enthalten ist (man schaut, dass man nicht durch 0 teilt).

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Vorgehensweise

  1. Nullstelle(n) des Zählers berechnen
  2. Nullstelle(n) des Zählers in Nenner einsetzen
  3. Bedingung überprüfen

Beispiele

Aufgabe: Berechne die Nullstelle der Funktionen.

$f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-2}$

  1. Nullstelle des Zählers berechnen

    $x+1=0\quad|-1$
    $x=\color{red}{-1}$

  2. Nullstelle des Zählers in Nenner einsetzen

    $x^2-x-2$
    $(\color{red}{-1})^2-(\color{red}{-1})-2$ $=1+1-2=0$
    => $x=-1$ ist eine Nullstelle des Nenners

  3. Bedingung überprüfen

    Die Nullstelle des Zählers ist auch Nullstelle des Nenners. Die Bedingung ist nicht erfüllt:
    Bei $x=-1$ handelt es sich um keine Nullstelle der Funktion.

$f(x)=\frac{x-2}{(x+4)^2}$

  1. Nullstelle des Zählers berechnen

    $x-2=0\quad|+2$
    $x=\color{red}{2}$

  2. Nullstelle des Zählers in Nenner einsetzen

    $(x+4)^2$
    $(\color{red}{2}+4)^2$ $=6^2=36$ => $x=2$ ist keine Nullstelle des Nenners

  3. Bedingung überprüfen

    Die Nullstelle des Zählers ist keine Nullstelle des Nenners. Die Bedingung ist erfüllt:
    Bei $x=2$ handelt es sich um eine Nullstelle der Funktion.