Streifenmethode

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Merke

Je mehr Streifen man mit der Ober- bzw. Untersumme setzt, desto genauer wird das Ergebnis.

Wenn man nun die Streifenzahl $n$ gegen unendlich laufen lässt, erhält man also den gesuchten Flächeninhalt. Dazu bildet man den Grenzwert der Ober- und Untersummen für $n\to\infty$.

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Tipp

Das ist nur die Herleitung des bestimmten Integrals.

Beispiel

$f(x)=x^2$ im Intervall $[0; 1]$

  1. Untersumme berechnen

    Die Breite ist $\frac1n$ und die Höhe ist $x^2$.
    $U=\frac1n\cdot(0^2+(\frac1n)^2+(\frac2n)^2+...$ $+(\frac{n-1}{n})^2)$

    Klammern auflösen, indem man Zähler und Nenner quadriert.
    $U=\frac1n\cdot(0^2+\frac{1^2}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+...$ $+\frac{(n-1)^2}{n^2})$

    In jedem Nenner steht $n^2$, daher kann man das Ausklammern
    $U=\frac{1}{n^3}\cdot(0^2+1^2+2^2+...+(n-1)^2)$

    Es gibt einen Trick, um die Klammer umzuschreiben: Alle Quadratzahlen bis $m$ (sprich $1^2+2^2+...+m^2$) ergeben zusammen:
    $\frac16\cdot\color{red}{m}\cdot(\color{red}{m}+1)\cdot(2\color{red}{m}+1)$
    Auf unser Beispiel angewendet bedeutet das:
    $\color{red}{m}=\color{red}{(n-1)}$
    $U=\frac{1}{n^3}\cdot\frac16\cdot\color{red}{(n-1)}\cdot$ $(\color{red}{n-1}+1)\cdot(2\color{red}{(n-1)}+1)$
    $U=\frac16\cdot\frac{1}{n^3}\cdot(n-1)\cdot n\cdot(2n-1)$

  2. Obersumme berechnen

    Das gleiche nochmal für die Obersumme.
    $O=\frac1n\cdot((\frac1n)^2+(\frac2n)^2+...$ $+(\frac{n-1}{n})^2+1^2)$
    $O=\frac{1}{n^3}\cdot(1^2+2^2+...$ $+(n-1)^2+n^2)$
    $O=\frac16\cdot\frac{1}{n^3}\cdot n\cdot (n+1)\cdot(2n+1)$

  3. Grenzwert bilden

    Jetzt muss noch der Grenzwert gebildet werden.
    $U=\frac16\cdot\frac{1}{n^3}\cdot(n-1)\cdot n\cdot(2n-1)$ $=\frac16\cdot\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{2n-1}{n}$

    $\lim\limits_{n \to \infty}{U}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}{(\frac16\cdot\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{2n-1}{n})}$ $=\frac16\cdot1\cdot1\cdot2=\frac13$

    $O=\frac16\cdot\frac{1}{n^3}\cdot n\cdot (n+1)\cdot(2n+1)$ $=\frac16\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2n+1}{n}$

    $\lim\limits_{n \to \infty}{O}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}{(\frac16\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2n+1}{n})}$ $=\frac16\cdot1\cdot1\cdot2=\frac13$

  4. Flächeninhalt bestimmen

    Für den Flächeninhalt gilt:
    $U \le A \le O$

    $\frac13 \le A \le \frac13$

    Der gesuchte Flächeninhalt ist also: $A=\frac13$