Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode zum Integrieren von einem Produkt. Sie ist die Umkehrung der Produktregel der Differenzialrechnung und besagt:

$\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x =$ $f(x)\cdot g(x) - \int f'(x)\cdot g(x) \, \mathrm{d}x$
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Tipp

Man nutzt die partielle Integration häufig, wenn das Integral ein Produkt aus zwei Funktionen ist, von denen eine leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.
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Beachte

Das neue Integral $\int f'(x)\cdot g(x)$ sollte nicht schwerer sein als das davor.
Man sollte für $f(x)$ also einen Faktor nehmen, der abgeleitet das Integral vereinfacht.
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Vorgehensweise

  1. $f(x)$ und $g'(x)$ bestimmen
  2. $f'(x)$ berechnen: $f(x)$ ableiten
  3. $g(x)$ berechnen: $g'(x)$ integrieren
  4. Einsetzen und Integral lösen

Beispiel

Löse das Integral $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ mit partieller Integration.

  1. $f(x)$ und $g'(x)$ bestimmen

    $f(x)=x$
    $g'(x)=\cos(x)$
    Grund: $x$ ist abgeleitet 1, was das Integral vereinfacht.

  2. $f'(x)$ berechnen: $f(x)$ ableiten

    $f(x)=x$
    $f'(x)=\color{blue}{1}$

  3. $g(x)$ berechnen: $g'(x)$ integrieren

    $g'(x)=\cos(x)$
    $g(x)=\color{green}{\sin(x)}$
    Tipp: Die Stammfunktion von $\cos(x)$ und einiger anderer elementarer Funktionen sollte man sich merken.

  4. Einsetzen und Integral lösen

    Zuerst wird $f'(x)$ und $g(x)$ eingesetzt:
    $\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x$ $=f(x)\cdot \color{green}{g(x)} - \int \color{blue}{f'(x)}\cdot \color{green}{g(x)} \, \mathrm{d}x$

    $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\color{green}{\sin(x)} - \int \color{blue}{1}\cdot\color{green}{\sin(x)} \, \mathrm{d}x$
    $=x\cdot\sin(x) - \color{red}{\int \sin(x) \, \mathrm{d}x}$

    Jetzt muss das Integral gelöst werden.
    $\color{red}{\int \sin(x)\, \mathrm{d}x}=-\cos(x)$

    Gelöstes Integral einfügen:
    $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\sin(x) - (-\cos(x))$ $=x\cdot\sin(x)+\cos(x)\color{purple}{+C}$
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Tipp

Wenn es sich wie hier um ein unbestimmtes Integral handelt, muss am Ende noch die Integrationskonstante $\color{purple}{C}$ gesetzt werden.