Wie die Kettenregel beim Ableiten nutzt man beim Integriereren verketteter Funktionen die Integration durch Substitution.
Das Umformen des Differenzials erfolgt durch die Formel
$\int (3x+2)^3 \, \mathrm{d}x$
$z=3x+2$
$z$ dafür in die Funktion einsetzen.
$\int (\color{red}{3x+2})^3 \, \mathrm{d}x$
$\int \color{red}{z}^3 \, \mathrm{d}x$
$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=z'$
$z$ ableiten für $z'$$z'=(3x+2)'=3$
Einsetzen$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=3$
Nach dx umstellen$\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}z}{3}$
$\int z^3 \, \color{red}{\mathrm{d}x}$
$\int z^3 \, \color{red}{\frac{\mathrm{d}z}{3}}$
Das Integral umschreiben und mithilfe bekannter Integrationsregeln integrieren.$\int \frac13 z^3 \, \mathrm{d}z$ $=\frac1{12} z^4+C$
$z=3x+2$
$\frac1{12} \color{red}{z}^4+C$ $=\frac1{12}(\color{red}{3x+2})^4+C$
Die Lösung ist also:$\int (3x+2)^3 \, \mathrm{d}x$ $=\frac1{12}(3x+2)^4+C$