Kettenregel

Die Kettenregel muss bei der Ableitung von verketteten Funktionen angewendet werden. Eine verkettete Funktion ist eine Funktion einer Funktion.

$g(x)$ ist die äußere Funktion.
$g'(x)$ ist die äußere Ableitung.
$h(x)$ ist die innere Funktion.
$h'(x)$ ist die innere Ableitung.

Beispiele

$f(x)=(\color{red}{x^3+4})^5$

1. Funktion in Teilfunktionen zerlegen

   $g(x)=x^5$ und $h(x)=\color{red}{x^3+4}$

2. Teilfunktionen ableiten

   Anwenden der Potenzregel
   $g'(x)=\color{blue}{5}x\color{blue}{^4}$ und $h'(x)=\color{green}{3x^2}$

3. Einsetzen

   $f'(x)=\color{blue}{g'}(\color{red}{h(x)})\cdot \color{green}{h'(x)}$
   
   $f'(x)=\color{blue}{5}(\color{red}{x^3+4})^\color{blue}{4}\cdot \color{green}{3x^2}$

$f(x)=\sin(\color{red}{x^5})$

1. Funktion in Teilfunktionen zerlegen

   $g(x)=\sin(x)$ und $h(x)=\color{red}{x^5}$

2. Teilfunktionen ableiten

   Ableiten von Sinusfunktion und anwenden der Potenzregel
   $g'(x)=\color{blue}{\cos}(x)$ und $h'(x)=\color{green}{5x^4}$

3. Einsetzen

   $f'(x)=\color{blue}{g'}(\color{red}{h(x)})\cdot \color{green}{h'(x)}$
   
   $f'(x)=\color{blue}{\cos}(\color{red}{x^5})\cdot \color{green}{5x^4}$