Mit einem Mittelpunkt und einem Radius lässt sich in der Ebene eine Kreisgleichung aufstellen.
Die Koordinatengleichung des Kreises lautet:
Die Länge des Vektors von $M$ zu $P$ entspricht dem Radius.
$|\vec{MP}|=r$
Wir können diesen Vektor auch mithilfe der Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{x_M}$ darstellen (siehe Bild oben).
$|\vec{x}-\vec{x_M}|=r$
Wenn wir die ganze Gleichung quadrieren fällt der Betrag weg (Rechenregel von Vektoren). Wir erhalten die vektorielle Gleichung für Kreise in der Ebene.
Die obere Koordinatengleichung erhält man durch ausmultiplizieren (Skalarprodukt).
Bei der genannten Kreisgleichung können Radius und Mittelpunkt abgelesen werden.
Es finden sich aber auch andere quadratische Gleichungen, die einen Kreis beschreiben.
Bestimme den Mittelpunkt und Radius des Kreises $k$.
$k: x^2-4x+y^2+2y=20$
$x^2-4x+y^2+2y=20$
$x^2-4x\color{red}{+2^2-2^2}$ $+y^2+2y\color{blue}{+1^2-1^2}=20$
$(x-2)^2-2^2$ $+(y+1)^2-1^2=20$
$(x-2)^2+(y+1)^2-5=20\,\,|+5$
$(x-2)^2+(y+1)^2=25$
$k: (x-2)^2+(y+1)^2=25$
$k: (x-2)^2+(y+1)^2=5^2$
Achtung: Beim Radius muss erst die Wurzel gezogen werden! Der Mittelpunkt steht in der Gleichung mit umgekehrten Vorzeichen!
$M(2|-1)$ und $r=5$