Monotonieverhalten

Als Monotonieverhalten bezeichnet man das Steigungsverhalten einer Funktion. Dieses gibt Auskunft darüber, wann eine Funktion steigt oder fällt.

Beispiel

Untersuche die Funktion $f(x)=x^3+2x^2-4x-8$ auf Monotonie.

1. Ableitung bestimmen

   $f'(x)=3x^2+4x-4$

2. Nullstellen der Ableitung berechnen

   Es liegt eine quadratische Gleichung vor, die man beispielsweise mit der PQ-Formel lösen kann.
   $f'(x)=3x^2+4x-4\quad|:3$
   $f'(x)=x^2+\frac43x-\frac43$
   
   $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
   $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{(\frac23)^2+\frac43}$
   $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
   $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\frac43$
   $x_1=\color{blue}{-2} \quad x_2=\color{green}{\frac23}$

3. Intervalle bestimmen

   Mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion bildet man nun die Intervalle, bei denen man das Monotonieverhalten untersucht.
   $x_1=\color{blue}{-2} \quad x_2=\color{green}{\frac23}$
   
   $I_1(-\infty|\color{blue}{-2})$, $I_2(\color{blue}{-2}|\color{green}{\frac23})$, $I_3(\color{green}{\frac23}|\infty)$

4. Probeeinsetzungen in die Ableitung

   Jeweils einen beliebigen Wert aus jedem Intervall in die Ableitung einsetzen.
   
   $I_1(-\infty|-2)$:
   Probeeinsetzung: $x=\color{red}{-3}$
   $f'(\color{red}{-3})=3\cdot(\color{red}{-3})^2+4\cdot(\color{red}{-3})-4$ $=11 > 0$
   => Die Ableitung ist im Intervall $I_1$ positiv, d.h. die Funktion ist in diesem Intervall monoton steigend.
   
   $I_2(-2|\frac23)$:
   Probeeinsetzung: $x=\color{red}{0}$
   $f'(\color{red}{0})=3\cdot\color{red}{0}^2+4\cdot\color{red}{0}-4$ $=-4 < 0$
   => Die Ableitung ist im Intervall $I_2$ negativ, d.h. die Funktion ist in diesem Intervall monoton fallend.
   
   $I_3(\frac23|\infty)$:
   Probeeinsetzung: $x=\color{red}{1}$
   $f'(\color{red}{1})=3\cdot\color{red}{1}^2+4\cdot\color{red}{1}-4$ $=3 > 0$
   => Die Ableitung ist im Intervall $I_3$ positiv, d.h. die Funktion ist in diesem Intervall monoton steigend.