Hypergeometrische Verteilung
Zum Bestimmen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beim Ziehen ohne Zurücklegen kommt die hypergeometrische Verteilung zur Anwendung.
$P(X=k)=\frac{{M\choose k}{N-M\choose n-k}}{{N\choose n}}$
- $N$ ist die Größe der Grundgesamtheit
- $M$ ist die Anzahl der günstigen Elemente
- $n$ ist die Größe der Stichprobe
- $k$ ist die Anzahl der Treffer
Das Lottomodell
Die hypergeometrische Verteilung lässt sich mit dem Lottomodell erklären.
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Info
Wir gehen hier vom Lotto "6 aus 49" aus. Dabei werden aus 49 Kugeln 6 ohne Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge der Ziehung ist dabei jedoch nicht wichtig.
Beispiel
Wie wahrscheinlich sind 4 Richtige im Lotto?
Gesamtzahl der Kombinationen
Die Anzahl der möglichen Kombinationen lässt sich mit dem Binomialkoeffizienten bestimmen.
${49\choose 6}$ $=13.983.816$Anzahl der günstigen Ereignisse
Man stellt sich nun zwei Gruppen vor: 6 Gewinnkugeln und 43 Nieten
Erst bestimmt man die Möglichkeiten aus den 6 Gewinnkugeln 4 auszuwählen:
${6\choose 4}=15$
Dann die Möglichkeiten, um aus den 43 Nieten 2 auszuwählen:
${43\choose 2}=903$
Beides zusammen multipliziert ergibt die Gesamtzahl an Möglichkeiten, um 4 Gewinnkugeln und 2 Nieten zu ziehen, unbeachtet der Reihenfolge:
${6\choose 4}\cdot{43\choose 2}$Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es handelt sich hier um ein Laplace-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Anzahl der Möglichkeiten für das Ereignis durch die Gesamtzahl aller Kombinationsmöglichkeiten
$P(X=4)=\frac{{6\choose 4}{43\choose 2}}{{49\choose 6}}$ $\approx0,001$
Man sieht, dass dies eine hypergeomentrische Verteilung ist mit $n=6$, $k=4$, $M=6$, $N=49$