Schnittwinkel

Wenn sich die Graphen von zwei Funktionen schneiden, bilden die Tangenten zwei Winkel miteinander. Der kleinere Winkel wird als Schnittwinkel bezeichnet.


Zum Bild: Durch das Schneiden der beiden Tangenten (rot) bilden sich zwei Winkel: $\gamma$ und $\gamma'$.
$\gamma$ ist der Schnittwinkel.


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Merke

$f$ und $g$ schneiden sich an der Stelle $x$.

Zuerst benötigt man die Steigungswinkel der Funktionen:
$\alpha=\arctan(f'(x))$
$\beta=\arctan(g'(x))$

Der Schnittwinkel ist der kleinere Wert:
$|\alpha-\beta|$ oder
$180^\circ-|\alpha-\beta|$
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Vorgehensweise

  1. Ableitungen bilden
  2. Steigungen berechnen
  3. Steigungswinkel berechnen
  4. Schnittwinkel angeben

Beispiel

Wie groß ist der Schnittwinkel von den Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+2$ am Schnittpunkt $P(2|4)$.

  1. Ableitungen bilden

    $f(x)=x^2$
    $f'(x)=2x$

    $g(x)=x+2$
    $g'(x)=1$

  2. Steigungen berechnen

    Es wird die Steigung der beiden Funktionen am Schnittpunkt berechnet ($x=2$).
    $f'(2)=2\cdot2=4$
    $g'(2)=1$

  3. Steigungswinkel berechnen

    $\alpha=\arctan(f'(x))$
    $\alpha=\arctan(4)\approx75,96°$

    $\beta=\arctan(g'(x))$
    $\beta=\arctan(1)=45°$

  4. Schnittwinkel angeben

    $\gamma_1=|\alpha-\beta|$
    $\gamma_1=|75,96°-45°|$ $=30,96°$

    $\gamma_2=180°-|\alpha-\beta|$
    $\gamma_2=180°-30,96°$ $=149,04°$

    $\gamma_1<\gamma_2$
    => der Schnittwinkel $\gamma$ beträgt $30,96°$