Lage eines Punktes zu einem Kreis

Mit der Kreisgleichung lässt sich überprüfen, wo ein Punkt relativ zum Kreis liegt.

Zur Bestimmung der Lage von $P(x_0|y_0)$ zum Mittelpunkt $M(x_M|y_M)$ wird dieser in den vorderen Teil der Koordinatengleichung eingesetzt.

Nun unterscheiden wir 3 Fälle. Das Ergebnis ist

• $=r^2$: Der Punkt liegt auf dem Kreis.
• $<r^2$: Der Punkt liegt im Kreis.
• $>r^2$: Der Punkt liegt außerhalb des Kreises.

Etwas einfacher kann man auch mit dem Betrag des Vektors $\vec{MP}$ rechnen. (Achtung hier wird dann auf $r$, nicht $r^2$ überprüft!)

• $|\vec{MP}|=r$: Der Punkt liegt auf dem Kreis.
• $|\vec{MP}|<r$: Der Punkt liegt im Kreis.
• $|\vec{MP}|>r$: Der Punkt liegt außerhalb des Kreises.

Beispiel

Bestimme die Lage des Punktes $P(3|3)$ zum Kreis $k$.

$k: (x-2)^2+(y+1)^2=25$

1. Punkt einsetzen

   $(3-2)^2+(3+1)^2$ $=1^2+4^2$ $=17$

2. Überprüfen

   $17 \, ? \, r^2$

   $17 < 25$

   Der Punkt $P$ liegt innerhalb des Kreises.