Kugeln und Geraden

Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen für eine Kugel und eine Gerade im Raum.

Eine Kugel und eine Gerade können also einen, zwei oder keinen gemeinsamen Punkt haben.

Zum Berechnen der Schnittpunkte werden die einzelnen Koordinaten in die Kugelgleichung eingesetzt.

Beispiel

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=17$

1. $g$ in 3 Gleichungen zerlegen

   Wir ersetzen $\vec{x}$ und schreiben die jeweiligen Koordinaten als eigene Gleichung raus.

   $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

   1. $x=5+3r$
   2. $y=6+2r$
   3. $z=5+2r$

2. Koordinaten einsetzen

   Die Gleichungen werden nun bei der Kugelgleichung für $x$, $y$ und $z$ eingesetzt.

   $(x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=17$

   $(5+3r+1)^2$ $+(6+2r-2)^2$ $+(5+2r-1)^2=17$

   $(6+3r)^2$ $+(4+2r)^2$ $+(4+2r)^2=17$

   Binomische Formel anwenden, um Klammern aufzulösen

   $36+36r+9r^2$ $+16+16r+4r^2$ $+16+16r+4r^2=17$

   $17r^2+68r+68=17\quad|-17$

   $17r^2+68r+51=0\quad|:17$

   $r^2+4r+3=0$

   PQ-Formel anwenden, um quadratische Gleichung zu lösen.

   $r_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{(\frac{p}2)^2-q}$
   $r_{1,2}=-2\pm\sqrt{2^2-3}$
   $r_{1,2}=-2\pm1$

   $r_{1}=-1$ und $r_{2}=-3$

3. $r$ einsetzen

   Die beiden berechneten $r$ werden in die Geradengleichung eingesetzt, um die Schnittpunkte zu erhalten.

   $\vec{OS_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

   $\vec{OS_2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

   Es handelt sich um eine Sekante, welche die Kugel bei $S_1(2|4|3)$ und $S_2(-4|0|-1)$ schneidet.